Teorema que alguien dijo
"de Troconius"
que completa el de Pappus y Guldinus
aplicado a las "Formas Anextrémicas"
generadas de extrusión por sus secciones
en este caso de variación continua.
(Una razón de dar aquí todo esto
es la de disuasión a "cátedros plagiarios"
que se arrogan los méritos ajenos).
El teorema establece que el parámetro
conocido como "Factor de Forma"***
—que es relación importante de los cuerpos
Superficie de Envolvente a su Volumen—
para este tipo de morfologías,
resulta siempre ser equivalente
a relación ente el perímetro y el área
de la sección media generatriz del sólido.
Con lo que viene a ser que son iguales
compacidad para el cuerpo geométrico
que es tridimensional en el espacio
y aquella plana que tienen las secciones.
Muchos problemas morfológico-energéticos
de este modo pueden verse reducidos
desde tres dimensiones del espacio
a sólo dos (simplificación enorme).
Se demostró el teorema para el caso
de volúmenes discontinuos generados
por variaciones discretas de envolventes
con pequeñas medianeras resultantes*.
Hoy se demuestra el teorema para el caso
más general de volúmenes continuos
generados variando las secciones
y pequeñas medianeras despreciables.
(Para aquellos exigentes matemáticos,
incluyo anexo donde pueden comprobarse
las exactas condiciones del planteamiento
así como referencias bibliográficas ****).
La aplicación a muchos cuerpos es posible
en amplias áreas de la Morfología**;
dejo para ocasión más adelante
su ilustración derivando consecuencias
que son variadas y muy interesantes.
© albertotrocóniz / 12
Texto de: "MORFOENERGÉTICA ARQUITECTÓNICA"
Imagen de idem.
**** Anexo:
CONDICIONES MATEMÁTICAS ESTRICTAS
Se contempla el caso general de un sólido de configuración geométrica tridimensional cualquiera, que se pueda considerar generado diferencialmente por una extrusión de secciones generatrices variables continuamente, al menos de manera segmentaria, a lo largo de una línea directriz cerrada o abierta de gran longitud (ver Figuras), en donde:
A el área total de la superficie envolvente del sólido
V el volumen total del sólido envuelto
L la longitud total de la línea directriz
l longitud medida sobre la línea directriz
s(l) área de la sección generatriz, función continua de l
p(l) longitud del perímetro de la sección generatriz, función continua de l
s área promedio de las secciones generatrices
p longitud del perímetro promedio las secciones generatrices
Para estas entidades, las condiciones geométricas que deben considerarse (en el caso más general posible) de cara una formulación rigurosa del teorema, son:
1º/ para la Línea Directriz:
- podrá ser cualquier curva espacial continua alabeada…
(el alabeo de la directriz se pone de manifiesto porque la curva atraviesa su propio plano osculador en cada punto; en el campo arquitectónico es muy corriente que la directriz se conserve plana en su propio plano osculador);
- cerrada sobre sí misma, o abierta…
(en cualquier caso, las superficies que correspondan a los extremos van a considerarse despreciables o inexistentes, i.e.: “Formas Anextrémicas”)
- de las denominadas “de clase uno”…
(son funciones continuas con primera derivada también continua),
- que garantiza la consistencia de los modelos en el ámbito geométrico
(estrictamente, esto excluye los quiebros en la directriz, entendiendo que los cambios bruscos de dirección son efectuados de forma continua en el entorno del punto que determina el ángulo; no obstante podemos, a nivel de formalización, representar estas esquinas como límites de una transición suave).
2º/ para la Sección(es) Generatriz(es):
- podrán ser descritas por dominios simplemente conexos…
(aunque en principio se podrían también extender a dominios multiplemente conexos sin restricciones o sin pérdida de generalidad)
- delimitados por curvas continuas poligonales en la mayoría de los casos…
(de las llamadas "de clase cero", con quiebros y cambios bruscos de dirección)
- donde cada uno de los puntos de la directriz se convierten en centroides…
(de manera precisa en geometría, el centroide de un objeto X perteneciente a un espacio n-dimensional es la intersección de todos los hiperplanos que dividen a X en dos partes de igual n-volumen con respecto al hiperplano; esta definición aplicada a nuestra sección bidimensional s, se traduce al punto de intersección de todas las rectas que dividen a s en dos partes de igual área con respecto a esas rectas)
- de las secciones definidas en cada Plano Normal de la directriz…
(el plano normal junto al osculador y rectificante forman el triedro sobre cuyas aristas comunes, vectores adecuados determinan las propiedades de forma de la directriz; la existencia del plano normal está garantizada por la clase exigida a la directriz)
- a su vez, las secciones pueden variar de forma discreta en n tramos a lo largo del arco que subtiende la directriz
(siendo "n" un número finito en el intervalo en el que está determinada la directriz).
Bajo estas premisas se lleva a cabo la demostración de la identidad de los Factores de Forma correspondientes a la envolvente tridimensional y el de la sección media bidimensional.
REFERENCIAS:
Fernández de Trocóniz Revuelta Alberto J. (2010) “Implicaciones Energéticas de la Tipología de Manzana”; Tesis Doctoral ETSAM, Universidad Politécnica de Madrid, págs 5-58 a 5-62.
(son funciones continuas con primera derivada también continua),
- que garantiza la consistencia de los modelos en el ámbito geométrico
(estrictamente, esto excluye los quiebros en la directriz, entendiendo que los cambios bruscos de dirección son efectuados de forma continua en el entorno del punto que determina el ángulo; no obstante podemos, a nivel de formalización, representar estas esquinas como límites de una transición suave).
2º/ para la Sección(es) Generatriz(es):
- podrán ser descritas por dominios simplemente conexos…
(aunque en principio se podrían también extender a dominios multiplemente conexos sin restricciones o sin pérdida de generalidad)
- delimitados por curvas continuas poligonales en la mayoría de los casos…
(de las llamadas "de clase cero", con quiebros y cambios bruscos de dirección)
- donde cada uno de los puntos de la directriz se convierten en centroides…
(de manera precisa en geometría, el centroide de un objeto X perteneciente a un espacio n-dimensional es la intersección de todos los hiperplanos que dividen a X en dos partes de igual n-volumen con respecto al hiperplano; esta definición aplicada a nuestra sección bidimensional s, se traduce al punto de intersección de todas las rectas que dividen a s en dos partes de igual área con respecto a esas rectas)
- de las secciones definidas en cada Plano Normal de la directriz…
(el plano normal junto al osculador y rectificante forman el triedro sobre cuyas aristas comunes, vectores adecuados determinan las propiedades de forma de la directriz; la existencia del plano normal está garantizada por la clase exigida a la directriz)
- a su vez, las secciones pueden variar de forma discreta en n tramos a lo largo del arco que subtiende la directriz
(siendo "n" un número finito en el intervalo en el que está determinada la directriz).
Bajo estas premisas se lleva a cabo la demostración de la identidad de los Factores de Forma correspondientes a la envolvente tridimensional y el de la sección media bidimensional.
REFERENCIAS:
Fernández de Trocóniz Revuelta Alberto J. (2010) “Implicaciones Energéticas de la Tipología de Manzana”; Tesis Doctoral ETSAM, Universidad Politécnica de Madrid, págs 5-58 a 5-62.
Fernández de Trocóniz AJ et al. (2012) “A Simple Way to Asses and Compare the Thermal Efficacy in Elongated Building Designs”. Communication SEB´11 Congress, en N. M'Sirdi et al. (Eds.): Sustainability in Energy and Buildings. Springer-Verlag Berlin Heidelberg; págs. 285 a 294.
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